¿ES DEMOSTRABLE LA CONJETURA DE GOLDBACH?

Pierre de Fermat, Christian Goldbach, Georg Friedrich Bernhard Riemann, Jules Henri Poincaré…, forman parte del selecto club matemático conocido como el de “Los Tocapelotas”. Para ser admitido en él, es condición necesaria y suficiente sacarse de la manga y sin que venga a cuento, un enunciado de cualquier rama de las matemáticas que tenga una apariencia muy sencilla y resulte, sin embargo, endiabladamente difícil de demostrar. Hoy hablaremos de una de las conjeturas, que así se llaman estos enunciados o proposiciones) más conocidas de la historia: se trata de una de las conjeturas (porque el muy distinguido miembro del club de Los Tocapelotas que la sacó a la luz, tiene varias en su haber) de Goldbach. Dice así:

“Todo número par mayor que dos es la suma de dos números primos”

Desde 1742, fecha aproximada de su publicación, hasta hoy, nadie ha sido capaz de demostrar una cosa tan aparentemente simplona, inane, banal como ésta y ha causado el suicidio –intelectual- de más de uno y de dos matemáticos, tanto reales como de ficción.

En los años treinta del siglo veinte, el joven lógico-matemático Kurt Gödel , demostró, que, en algunos sistemas axiomáticos formales, existían proposiciones de las que no era posible demostrar ni su verdad ni su falsedad. Se las conoce como los enunciados indecibles de Gödel y la expresión “yo no soy demostrable” se convirtió en su paradigma. Concretamente, el conjunto N de los números naturales, contiene infinitas proposiciones de este tipo. ¿Es la conjetura de Goldbach una de ellas? Muchos aficionados pensaron que, dada la imposibilidad aparente de su demostración, bien pudiera ser que, en efecto, fuera un indecible de Gödel.

Para demostrar que la conjetura de Goldbach sí es demostrable, trataremos de enunciarla dentro del cuerpo de los números complejos, C. Para ello, tomamos un espacio dominio en C, que llamaremos Cz, formado por todos los puntos de la forma

                           

z_k=n_k+in_k (con n_k un número natural mayor que 1 e i=√-1)

y otro, al que llamaremos espacio imagen Cw constituido por los puntos de la forma:

w_h,j=p_h+ip_j (con p_h y p_j, números primos)

y consideramos la aplicación de Cz en Cw, dada por z_k→w_h,_j

tal que

n_k+n_k=2n_k=p_h+p_j

La conjetura de Goldbach, llevado a este terreno de los números complejos, dice que sea cual sea el n_k elegido (mayor que 1), la aplicación definida previamente se cumple siempre.

Ahora resulta que, gracias a la magia de los números complejos, con esta simple equivalencia, hemos conseguido demostrar que la conjetura de Goldbach es demostrable. ¿Por qué? Porque en el conjunto de los números complejos, a diferencia del de los números naturales, por ejemplo, todo enunciado verdadero es demostrable, en el sentido de que, si la conjetura es cierta, siempre habrá un matemático que, siguiendo los pasos del tío Petros, consiga hacerlo y si, por el contrario, es falsa, podrá también demostrar dicha falsedad. En definitiva, la indecibilidad de Gödel no es aplicable al cuerpo de los números complejos. Lo de demostrar o no la conjetura en sí, es otra historia.